El Sablón de Manolo y Blanca

En uno de los grupos de lectura que se organizan en Logos estamos leyendo Elements of Intuitionism, de Dummett. No es casualidad que comience a leer tantos libros justo ahora. Es por el principio de curso.

He llegado tarde a las primeras dos sesiones, así que me he tenido que poner al día por mi cuenta con los dos primeros capítulos. Resultado, un montón de dudas tontas. Voy a compartir una con vosotros.

Antes de eso, una introducción rápida: El intuicionismo es una escuela que entiende a los objetos matemáticos como construcciones mentales. Esto se opone al platonismo, que sostiene, en cambio, que los objetos matemáticos existen por su cuenta, independientemente de nosotros.
Un intuicionista no puede aseverar A si no posee una prueba de A. La verdad de un enunciado matemático consiste en su probabilidad.
Esto hace que el significado de los operadores lógico-matemáticos sea distinto para el intuicionista que para el matemático clásico. Así, por ejemplo, un intuicionista no puede aseverar A∨B [o bien A o bien B] si no tiene una prueba o bien de A o bien de B. Una consecuencia divertida de esto, y una de las características famosas del intuicionismo, es que A∨¬A [o bien A o bien no es el caso que A] no es a priori. Para poder aseverar tal cosa, uno debe tener una prueba o bien de A o bien de ¬A.. En ausencia de una de esas dos pruebas, no se puede decir que o bien A es el caso o bien no lo es. El intuicionista no acepta la regla del tercio excluso.

El significado del otras conectivas lógicas:

∃xA(x) [Esto se llama cuantificador existencial, y quiere decir que existe un x tal que A es cierto de x]: Sólo se puede decir esto cuando conocemos un cierto número concreto n para el A es cierto (o sea, para el que A(n)).

A∧B [A y B]: Tenemos una prueba de A y una prueba de B.

A→B [Si A entonces B]: Poseemos un sistema del que podemos reconocer que convierte toda prueba de A en una prueba de B.

Y bueno, todo en ese plan. Mi problema viene con el cuantificador universal:

∀xA(x) [A es cierto de todo x]. Dummett dice que el cuantificador universal es “una construcción de la que podemos reconocer que, cuando se aplica a cualquier número n, proporciona una prueba de A(n).

Pero ¿cómo podemos reconocer que una construcción proporciona una prueba de A(n) cuando se aplica a cualquier n? Sólo se me ocurre que, de alguna manera, vemos a priori que todos los números naturales tienen una cierta propiedad P, y luego la prueba de ∀xA(x) es la demostración de que tener P obliga a tener A. Dummett dice que las pruebas de cuantificadores universales suelen provenir de “esqueletos de prueba”, A(x), que vemos a las claras que se convierten en pruebas de A(n) al sustituir x por cualquier n.
De nuevo, no sé cómo puede funcionar esto si no es porque tenemos, digamos, gratis, unas ciertas intuiciones sobre uniformidades de los números naturales, sobre propiedades que todos ellos poseen.

Vale, concedamos que esto es así, que tenemos tales intuiciones y que dichas intuiciones no contradicen los predicamentos intuicionistas. Mi problema viene ahora. Según parece, la siguiente regla de inferencia no es válida intuicionistamente:

De: ∀x(Fx∨A) [Para todo x, o bien es cierto que Fx o bien es cierto que A]

No se puede inferir intuicionistamente: ∀xFx ∨ A [O bien para todo x es cierto que x, o bien A].

La explicación de Dummett es que, aun si poseemos una construcción -llamémosla C- de la que podemos ver que para todo x nos proporcionará una prueba de Fx o bien una prueba de A, podría ser que no tuviésemos ni una prueba de ∀xFx ni una prueba de A: podría ser que no supiésemos si alguna vez -en los infinitos casos de números naturales- C dejará de dar una prueba de Fx y dará una construcción de A. Consistentemente con esa ignorancia, tenemos que evitar extraer la conclusión que pretende la fallida regla de inferencia de más arriba.

Este caso no se pliega a la explicación que daba más arriba del funcionamiento del cuantificador universal intuicionista. Si poseo una prueba de ∀x(Fx∨A) y la prueba se basa en explotar mis intuiciones a priori sobre números naturales -o algo así- entonces debo saber ya desde el principio si va a ocurrir que en algún caso la construcción C no va a poder probar que Fx.

Un ejemplo. Imaginemos que Fx = x es par y A = existe al menos un número impar. Existe sin duda una construcción C de la que puedo ver que, para todo número x, o bien probará que x es par o bien probará que es impar y, por tanto, que A es cierto. Esa construcción dividirá x entre 2 cada vez y, si el resto es = 0, habrá probado Fx, mientras que si no lo es habrá probado A. Pero aquí las intuiciones que sustentan mi confianza en la construcción C (las intuiciones que dicen que todos los números son o bien pares o bien impares) se basan, me parece a mí, en mi observación de que existen números pares, números impares y que se alternan. Esas mismas intuiciones permiten ver que A es cierto.

¿Qué aspecto debe tener una intuicion que nos permita conocer ∀x(Fx∨A) sin que sepamos con certeza si A es probable o no? Sólo se me ocurre algo así: sabemos a priori que todos los números naturales tienen o bien la propiedad G o bien la propiedad ¬G, tal que, si un número tiene la propiedad G, entonces la construcción C nos hace ver que también tendrá la propiedad F, pero si un número tiene la propiedad ¬G, entonces vemos que C se convierte en una prueba de A. Muy bien, pero entonces, si de veras ignoramos si A quedará probado en algún momento, es que tenemos la intuicion de que, para todo x, o bien G o bien ¬G sin conocer un número concreto n para el cual ¬G(n). O sea, tenemos la intuición de que los números naturales pueden tener una cierta propiedad ¬G(x) sin conocer ninguna instancia de ¬G(n). ¿Esto es válido intuicionistamente?

Nota de veinte minutos después: Nada, ni caso. El ejemplo bueno-bueno es éste: F(x)=[2x es la suma de dos primos] y A=[la conjetura de Goldbach es falsa]. F(x) es un predicado decidible para todo x, pero, de hecho, no sabemos si se cumple para todo x. Si no se cumple para algún x, se habrá probado la conjetura de Goldbach. Así que, en efecto, para todo x tenemos una prueba de que o bien 2x es la suma de dos primos o bien la conjetura de Goldbach es falsa pero no, no tenemos ni una prueba de que para todo x, 2x es la suma de dos primos (o sea, una prueba de la conjetura de Goldbach) ni una prueba de la negación de la conjetura de Goldbach.

Je, qué guay, para esto quería yo el blog.

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